Как интегрировать f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)), используя частичные дроби?

Ответ:

# 35 / 51ln | х-7 | -6 / 11ln | х-3 | -1/561 (79 / 2ln (х ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Объяснение:

Поскольку знаменатель уже учтен, все, что нам нужно сделать, - это решить для констант частичные дроби:

# (3x ^ 2-х) / ((х ^ 2 + 2) (х-3) (х-7)) = (Ах + В) / (х ^ 2 + 2) + С / (х-3) + Д / (х-7) #

Обратите внимание, что нам нужны оба #Икс# и постоянный член в самой левой части, потому что числитель всегда на 1 градус ниже знаменателя.

Мы могли бы умножить на левый знаменатель, но это было бы огромной работой, поэтому мы можем вместо этого быть умными и использовать метод сокрытия.

Я не буду подробно останавливаться на этом процессе, но, по сути, мы выясняем, что делает знаменатель равным нулю (в случае # C # это # Х = 3 #), и включив его в левую часть и оценив при этом скрывая коэффициент, соответствующий константе, это дает:

# С = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (текст (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Мы можем сделать то же самое для # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (текст (////))) = 35/51 #

Метод сокрытия работает только для линейных факторов, поэтому мы вынуждены решить для # A # а также # B # используя традиционный метод и умножая на левый знаменатель:

# 3x ^ 2-х = (Ах + В) (х-3) (х-7) -6/11 (х ^ 2 + 2) (х-7) +35/51 (х ^ 2 + 2) (х-3) #

Если мы умножим через все скобки и приравнять все коэффициенты различных #Икс# и постоянные условия, мы можем узнать значения # A # а также # B #, Это довольно длительный расчет, поэтому я просто оставлю ссылку для тех, кто заинтересован:

кликните сюда

# А = -79/561 #

# В = -94/561 #

Это дает то, что наш интеграл:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Первые два можно решить, используя довольно простые u-замены знаменателей:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Мы можем разделить оставшийся интеграл на два:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Я назову левый Интеграл 1 и правый Интеграл 2.

Интеграл 1

Мы можем решить этот интеграл с помощью подстановки # И = х ^ 2 + 2 #, Производная # 2x #поэтому мы делим на # 2x # интегрировать по отношению к # # U:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | х ^ 2 + 2 | + C #

Интеграл 2

Мы хотим получить этот интеграл в форму для # Загар ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Если мы введем замену с # Х = sqrt2u #Мы сможем преобразовать наш интеграл в эту форму. Интегрировать по отношению к # # Uмы должны умножить на # Sqrt2 # (так как мы взяли производную по # # U вместо #Икс#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (и) + С = 47sqrt2tan ^ -1 (х / sqrt2) + C #

Завершение оригинального интеграла

Теперь, когда мы знаем, что такое Интеграл 1 и Интеграл 2, мы можем завершить исходный интеграл, чтобы получить наш окончательный ответ:

# 35 / 51ln | х-7 | -6 / 11ln | х-3 | -1/561 (79 / 2ln (х ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #