Является ли x ^ 12-y ^ 12 разницей в два квадрата или разницей в два куба?

Это может быть и то и другое.

Вы можете использовать свойства экспоненциальных степеней, чтобы записать эти термины как разность квадратов и разность кубов.

поскольку # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #можно сказать что

# x ^ (12) = x ^ (6 * цвет (красный) (2)) = (x ^ (6)) ^ (цвет (красный) (2)) #

а также

# у ^ (12) = (у ^ (6)) ^ (цвет (красный) (2) #

Это означает, что вы получаете

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (6)) ^ (2) - (y ^ (6)) ^ (2) = (x ^ (6) - y ^ (6)) (x ^ (6) + y ^ (6)) #

Точно так же, # x ^ (12) = x ^ (4 * цвет (красный) (3)) = (x ^ (4)) ^ (цвет (красный) (3)) # а также # у ^ (12) = (у ^ (4)) ^ (цвет (красный) (3)) #

Так что вы можете написать

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (4)) ^ (3) - (y ^ (4)) ^ (3) = (x ^ 4 - y ^ 4) (x ^ (4)) ^ 2 + x ^ (4) у ^ (4) + (у ^ 4) ^ (2) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x ^ 4 - y ^ 4) x ^ 8 + x ^ (4) y ^ 4 + y ^ 8 #

Как видите, вы можете еще больше упростить эти выражения. Вот как бы вы полностью учли это выражение

# x ^ (12) - y ^ (12) = underbrace ((x ^ 6 - y ^ 6)) _ (цвет (зеленый) («разница двух квадратов»)) * underbrace ((x ^ 6 + y ^ 6)) _ (цвет (синий) ("сумма двух кубов")) = #

# = underbrace ((x ^ 3 - y ^ 3)) _ (цвет (зеленый) ("разница двух кубов")) * underbrace ((x ^ 3 + y ^ 3)) _ (цвет (синий) (" сумма двух кубов ")) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) = #

# = (x + y) (x ^ 2 -xy + y ^ 2) * (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * у ^ 2 + у ^ 4) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x + y) (xy) (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 2 - xy + y ^ 2) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 2) #