Интеграл 1 / sqrt (tanx) dx =?

Ответ:

# 1 / (sqrt2) загар ^ -1 ((Tanx-1) / (SQRT (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) пер | (Tanx-SQRT (2tanx) +1) / (Tanx-SQRT (2tanx) +1) | + C #

Объяснение:

Мы начинаем с U-замены с # И = SQRT (Tanx) #

Производная от # # U является:

# (Ди) / дх = (сек ^ 2 (х)) / (2sqrt (Tanx)) #

поэтому мы делим на то, чтобы интегрировать по отношению к # # U (и помните, деление на дробь - это то же самое, что умножение на ее обратное):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sec ^ 2x du = #

# = int 2 / sec ^ 2x du #

Поскольку мы не можем интегрировать #Икс#по отношению к # # Uмы используем следующую идентичность:

# Сек ^ 2theta = загар ^ 2theta + 1 #

Это дает:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du #

Этот оставшийся интеграл использует довольно утомительное разложение частичной дроби, поэтому я не буду здесь это делать. Посмотрите на этот ответ, если вам интересно, как он работает:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (и ^ 2-sqrt2u + 1) |) + С = #

# = 1 / (sqrt2) загар ^ -1 ((и ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) пер | (и ^ 2-sqrt2u + 1) / (и ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

Повторная замена для # И = SQRT (Tanx) #, мы получаем:

# 1 / (sqrt2) загар ^ -1 ((Tanx-1) / (SQRT (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) пер | (Tanx-SQRT (2tanx) +1) / (Tanx-SQRT (2tanx) +1) | + C #

Ответ:

# = 1 / SQRT (2) загар ^ -1 ((Tanx-1) / (SQRT (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) пер | (Tanx + 1-SQRT (2tanx)) / (Tanx + 1 + SQRT (2tanx)) | + C #

Объяснение:

# I = int1 / SQRT (Tanx) ах #

Позволять, #sqrt (Tanx) = т => Tanx = т ^ 2 => сек ^ 2xdx = 2tdt #

# => (1 + загар ^ 2x) ах = 2tdt => дх = (2tdt) / (1+ (т ^ 2) ^ 2 #

#:. I = int1 / cancelt * (2 * cancelt * дт) / (1 + т ^ 4) = int2 / (1 + т ^ 4) дт #

# = INT (т ^ 2 + 1) / (1 + т ^ 4) дт-INT (т ^ 2-1) / (1 + т ^ 4) дт = INT (1 + 1 / т ^ 2) / (т ^ 2 + 1 / т ^ 2) DT-INT (1-1 / т ^ 2) / (т ^ 2 + 1 / т ^ 2) дт #

# = INT (1 + 1 / т ^ 2) / ((т-1 / т) ^ 2 + 2) дт-INT (1-1 / т ^ 2) / ((т + 1 / т) ^ 2- 2) дт #

Возьмем,# (Т-1 / т) = U и (т + 1 / т) = v ## => (1 + 1 / т ^ 2) дт = duand (1-1 / т ^ 2) дт = DV ## => I = int1 / (и ^ 2 + (SQRT (2)) ^ 2) ди-int1 / (V ^ 2- (SQRT (2)) ^ 2) DV = 1 / SQRT (2) загар ^ - 1 (и / SQRT (2)) - 1 / (2sqrt (2)) пер | (V-sqrt2) / (V + sqrt2) | + с = 1 / SQRT (2) загар ^ -1 ((т-1 / т) / SQRT (2)) - 1 / (2sqrt (2)) пер | ((т + 1 / т) -sqrt2) / ((т + 1 / т) + sqrt2) | + C ## = 1 / SQRT (2) загар ^ -1 ((T ^ 2-1) / (SQRT (2) T)) - 1 / (2sqrt (2)) LN | ((т ^ 2 + 1-SQRT (2) т)) / ((т ^ 2 + 1 + SQRT (2) т)) | + C #

# = 1 / SQRT (2) загар ^ -1 ((Tanx-1) / (SQRT (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) пер | (Tanx + 1-SQRT (2tanx)) / (Tanx + 1 + SQRT (2tanx)) | + C #