Какова проекция (3i + 2j - 6k) на (3i - 4j + 4k)?

Ответ:

Векторная проекция #< -69/41,92/41,-92/41 >#скалярная проекция # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Объяснение:

Дано # Veca = (3i + 2j-6k) # а также # vecb = (3i-4j + 4k) #, мы можем найти #proj_ (vecb) Veca #, вектор проекция # Veca # на # Vecb # используя следующую формулу:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

То есть скалярное произведение двух векторов делится на величину # Vecb #, умножается на # Vecb # делится на его величину. Вторая величина является векторной величиной, поскольку мы делим вектор на скаляр. Обратите внимание, что мы делим # Vecb # по величине, чтобы получить единичный вектор (вектор с величиной #1#). Вы можете заметить, что первая величина является скалярной, поскольку мы знаем, что когда мы берем скалярное произведение двух векторов, в результате получается скаляр.

Следовательно скаляр проекция # A # на # Б # является #comp_ (vecb) Veca = (а * Ь) / # (| | б)также написано # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Мы можем начать с вычисления скалярного произведения двух векторов, которое можно записать в виде # veca = <3,2, -6> # а также # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Тогда мы можем найти величину # Vecb # взяв квадратный корень из суммы квадратов каждого из компонентов.

# | Vecb | = SQRT ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) 2 ^) #

# | Vecb | = SQRT ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => SQRT (9 + 16 + 16) = SQRT (41) #

И теперь у нас есть все, что нам нужно, чтобы найти векторную проекцию # Veca # на # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Вы можете распределить коэффициент по каждому компоненту вектора и записать как:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Скалярная проекция # Veca # на # Vecb # это только первая половина формулы, где #comp_ (vecb) Veca = (а * Ь) / # (| | б), Следовательно, скалярная проекция # -23 / SQRT (41) #, что не упрощает дальше, кроме того, чтобы рационализировать знаменатель при желании, давая # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Надеюсь, это поможет!