Пусть f (x) = (x + 2) / (x + 3). Найти уравнение (я) касательной (ых) линии (ей), которые проходят через точку (0,6)? Нарисовать решение?

Ответ:

Касательные # 25x-9y + 54 = 0 # а также # У = х + 6 #

Объяснение:

Пусть наклон касательной будет # М #, Тогда уравнение касательной # У-6 = х # или же # У = х + 6 #

Теперь давайте посмотрим точку пересечения этой касательной и заданной кривой # У = (х + 2) / (х + 3) #, Для этого выкладываю # У = х + 6 # в этом мы получаем

# 6 м х + = (х + 2) / (х + 3) # или же # (Х + 6) (х + 3) = х + 2 #

то есть # Х ^ 2 + 3MX + 6х + 18 = х + 2 #

или же # Х ^ 2 + (3m + 5) х + 16 = 0 #

Это должно дать два значения #Икс# то есть две точки пересечения, но касательная пересекает кривую только в одной точке. Следовательно, если # У = х + 6 # является касательной, мы должны иметь только один корень для квадратного уравнения, что возможно, только если дискриминант #0# то есть

# (3m + 5) ^ 2-4 * м * 16 = 0 #

или же # 9м ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

или же # 9м ^ 2-34m + 25 = 0 #

то есть # Т = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

то есть #25/9# или же #1#

и, следовательно, касательные # У = 25 / 9x + 6 # то есть # 25x-9y + 54 = 0 #

а также # У = х + 6 #

graph {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12,58, 7,42, -3,16, 6,84}