Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Ответ:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) прибл. 0,541 #

Объяснение:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Применение правила продукта

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Для локальных максимумов или минимумов: #f '(x) = 0 #

Позволять # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 или z = -2 #

Следовательно для локального максимума или минимума:

#lnx = 0 или lnx = -2 #

#: x = 1 или x = e ^ -2 приблизительно 0,135 #

Теперь рассмотрим график #x (LNX) ^ 2 # ниже.

график {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Мы можем наблюдать, что упрощенный #f (х) # имеет локальный минимум в # Х = 1 # и локальный максимум в #x in (0, 0.25) #

Следовательно: #f_min = f (1) = 0 # а также #f_max = f (e ^ (- 2)) прибл. 0,541 #