Пусть f непрерывная функция: a) Найдите f (4), если _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx для всех x. б) Найти f (4), если _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx для всех x?

Ответ:

а) #f (4) = р / 2 #; б) #f (4) = 0 #

Объяснение:

а) Различают обе стороны.

Через вторую фундаментальную теорему исчисления в левой части и правила произведения и цепочки в правой части мы видим, что дифференциация показывает, что:

#f (х ^ 2) * 2х = sin (пикс) + pixcos (пикс) #

Позволить # Х = 2 # показывает, что

#f (4) * 4 = Sin (2р) + 2picos (2р) #

#f (4) * 4 = 0 + 2р * 1 #

#f (4) = р / 2 #

б) Интегрировать интерьер термин.

# Int_0 ^ Р (х) т ^ 2dt = xsin (пикс) #

# Т ^ 3/3 _0 ^ F (X) = xsin (пикс) #

Оценка.

# (Е (х)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (пикс) #

# (Е (х)) ^ 3/3 = xsin (пикс) #

# (Е (х)) ^ 3 = 3xsin (пикс) #

Позволять # Х = 4 #.

# (Е (4)) ^ 3 = 3 (4) Sin (4pi) #

# (Е (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #