Каковы локальные максимумы и минимумы f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Ответ:

#f (х) = х ^ 2 / {(х-2) ^ 2 #

Эта функция имеет вертикальную асимптоту в # Х = 2 #, подходы #1# сверху как х идет # + oo # (горизонтальная асимптота) и подходы #1# снизу как х идет # -oo #, Все производные не определены в # Х = 2 # также. Есть один локальный минимум в # Х = 0 #, # У = 0 # (Все эти проблемы для происхождения!)

Обратите внимание, что вы, возможно, захотите проверить мою математику, даже лучшие из нас отбрасывают нечетный отрицательный знак, и это длинный вопрос.

Объяснение:

#f (х) = х ^ 2 / {(х-2) ^ 2 #

Эта функция имеет вертикальную асимптоту в # Х = 2 #потому что знаменатель равен нулю, когда # Х = 2 #.

Подходит #1# сверху как х идет # + oo # (горизонтальная асимптота) и подходы #1# снизу как х идет # -oo #потому что для больших значений # Х ^ 2 ~ = (х-2) ^ 2 # с # Х ^ 2> (х-2) ^ 2 # за #x> 0 # а также # Х ^ 2 <(х-2) ^ 2 # за #x <0 #.

Для нахождения max / min нам понадобятся первая и вторая производные.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Используйте частное правило!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Используя правило для полномочий и правило цепочки, мы получаем:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Теперь мы немного прибрались …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Теперь вторая производная, сделанная как первая.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (х-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (х-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (х-2) ^ 8 #

Это уродливо, но нам нужно только подключить и заметить, где он плохо себя вел.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Эта функция не определена в # Х = 2 #, что асимптот, но выглядит хорошо везде.

Мы хотим знать, где были максимальные / минимальные …

мы установили # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # это ноль, когда числитель равен нулю, а знаменатель - нет.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # или же # 4x (2-х) = 0 # Это ноль в # Х = 0 # а также # Х = 2 #, но у нас не может быть макс / мин, если производная / функция не определены, поэтому единственная возможность # Х = 0 #.

«Тест второй производной»

Теперь мы смотрим на вторую производную, как бы она ни была уродлива …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (х-2) ^ 8 #

Как функция и первая производная это не определено в # Х = 2 #, но выглядит хорошо везде.

Мы подключаем # Х = 0 # в # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #разве ноль такой прекрасный номер, чтобы подключить его?

#=128/256# все это для #1/2#

#1/2 >0# так # Х = 0 # это локальные минимумы.

Чтобы найти значение y, нам нужно подключить его к функции.

#f (х) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Происхождение!