Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Ответ:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Объяснение:

мы ищем:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Когда мы оцениваем предел, мы смотрим на поведение функции «около» точки, а не обязательно на поведение функции «в» рассматриваемой точке, таким образом, как #x rarr 0 #, ни в коем случае мы не должны рассматривать то, что происходит в # Х = 0 #Таким образом, мы получаем тривиальный результат:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Для наглядности представлен график функции для визуализации поведения вокруг # Х = 0 #

график {грех (1 / х) / грех (1 / х) -10, 10, -5, 5}

Должно быть ясно, что функция # У = Sin (1 / х) / sin (1 / х) # не определено в # Х = 0 #

Ответ:

Пожалуйста, смотрите ниже.

Объяснение:

Определения предела функции, которую я использую, эквивалентны:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # если и только для каждого положительного # Эпсилон #есть позитив # Дельта # такой, что для каждого #Икс#, если # 0 <abs (x-a) <delta # затем #abs (f (x) - L) <epsilon #

Из-за значения#abs (f (x) - L) <epsilon #"Это требует, чтобы для всех #Икс# с # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (х) # определено.

То есть для требуемого # Дельта #, все # (А-дельта, а + дельта) # кроме возможно # A #лежит в области # Е #.

Все это достается нам:

#lim_ (xrarra) Р (х) # существует только если # Е # определяется в некотором открытом интервале, содержащем # A #кроме, возможно, в # A #.

(# Е # должен быть определен в некоторой удаленной открытой окрестности # A #)

Следовательно, #lim_ (xrarr0) Sin (1 / х) / sin (1 / х) # не существует.

Почти тривиальный пример

#f (x) = 1 # за #Икс# иррациональное реальное (не определено для рациональных)

#lim_ (xrarr0) f (x) # не существует.