Какова стоимость? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Ответ:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Объяснение:

Мы ищем:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

И числитель, и знаменатель 2 #rarr 0 # как #x rarr 0 #, таким образом, предел # L # (если он существует) имеет неопределенную форму #0/0#и, следовательно, мы можем применить правило L'Hôpital, чтобы получить:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Теперь, используя фундаментальную теорему исчисления:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

А также,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Так что:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Опять же, это неопределенная форма #0/0#и, следовательно, мы можем снова применить правило Л'Опитала, чтобы получить:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Который мы можем оценить:

# L = (0) / (2-0) = 0 #