Каковы локальные экстремумы f (x) = xlnx-xe ^ x?

Ответ:

Эта функция не имеет локальных экстремумов.

Объяснение:

#f (x) = xlnx-xe ^ x подразумевает #

#g (x) эквивалент f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

За #Икс# быть локальным экстремумом, #G (х) # должно быть ноль. Теперь мы покажем, что это не происходит для любой реальной стоимости #Икс#.

Обратите внимание, что

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

таким образом #G ^ '(х) # исчезнет, если

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Это трансцендентное уравнение, которое может быть решено численно. поскольку #g ^ '(0) = + oo # а также #G ^ '(1) = 1-3e <0 #корень лежит между 0 и 1. И так как #g ^ {''} (0) <0 # за все позитивное #Икс#это единственный корень и соответствует максимуму #G (х) #

Это довольно легко решить уравнение численно, и это показывает, что #G (х) # имеет максимальная в # Х = 0,3152 # и максимальное значение #g (0.3152) = -1,957 #, Поскольку максимальное значение #G (х) # отрицательно, нет значения #Икс# в котором #G (х) # обращается в нуль.

Может быть поучительно посмотреть на это графически:

граф {х войти (х) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Как видно из графика выше, функция #f (х) # на самом деле имеет максимум в # Х = 0 # - но это не локальный максимум. График ниже показывает, что #g (x) эквивалент f ^ '(x) # никогда не принимает значение ноль.

график {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}