Использовать первый принцип для дифференциации? у = SQRT (SiNx)

Ответ:

Шаг первый - переписать функцию как рациональный показатель #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Объяснение:

После того, как у вас есть выражение в этой форме, вы можете дифференцировать его с помощью правила цепочки:

В твоем случае: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Затем, # 1 / 2sin (х) ^ {- 1/2} * Cos (х) # какой твой ответ

Ответ:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Объяснение:

Используя предельное определение производной, мы имеем:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Так для данной функции, где #f (х) = SQRT (SiNx) #, у нас есть:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (SiNx)) / (SQRT (син (х +)) + SQRT (SiNx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -inx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

Тогда мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Давать нам:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Затем мы используем два очень стандартных предела исчисления:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, а также #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, а также #

И теперь мы можем оценить пределы:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# = (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #