Каковы локальные экстремумы f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Ответ:

#f (х) # имеет локальный максимум на #approx (0.1032, 15.0510) #

#f (х) # имеет локальный минимум в #approx (3.2301, -0.2362) #

Объяснение:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Применить правило продукта.

#f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) #

Применить правило силы.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

Для локальных экстремумов #f '(х) = 0 #

Следовательно, # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Применить квадратичную формулу.

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) #

# = (10 + -кврт (88)) / 6 #

# приблизительно 3,2301 или 0,1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

Для локального максимума #f '' <0 # в крайней точке.

Для местного минимума #f ''> 0 # в крайней точке.

тестирование #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

тестирование #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

Следовательно, #f_max ок (0,1032-3) (0,1032 ^ 2-2 * 0,1032-5) #

#approx 15.0510 #

А также, #f_min ок (3.2301-3) (3.2301 ^ 2-2 * 3.2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. F (X) # имеет локальный максимум на #approx (0.1032, 15.0510) #

# и f (x) # имеет локальный минимум в #approx (3.2301, -0.2362) #

Мы можем увидеть эти локальные экстремумы, увеличив масштаб до соответствующих точек на графике #f (х) # ниже.

график {(х-3) (х ^ 2-2х-5) -29,02, 28,72, -6,2, 22,63}