Что говорит 2-й производный тест о поведении f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 при этих критических числах?

Ответ:

Второй производный тест подразумевает, что критическое число (точка) # Х = 4/7 # дает локальный минимум для # Е # в то время как ничего не говоря о природе # Е # по критическим числам (точкам) # Х = 0,1 #.

Объяснение:

Если #f (х) = х ^ 4 (х-1) ^ 3 #тогда Правило продукта говорит

#f '(х) = 4x ^ 3 (х-1) ^ 3 + х ^ 4 * 3 (х-1) ^ 2 #

# = Х ^ 3 * (х-1) ^ 2 * (4 (х-1) + 3х) #

# = Х ^ 3 * (х-1) ^ 2 * (7x-4) #

Установка этого значения равным нулю и решение для #Икс# подразумевает, что # Е # имеет критические числа (баллы) в # х = 0,4 / 7,1 #.

Повторное использование правила продукта дает:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Сейчас #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, а также #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Таким образом, второй производный тест подразумевает, что критическое число (точка) # Х = 4/7 # дает локальный минимум для # Е # в то время как ничего не говоря о природе # Е # по критическим числам (точкам) # Х = 0,1 #.

На самом деле, критическое число (точка) в # Х = 0 # дает локальный максимум для # Е # (и Первый Производный Тест достаточно силен, чтобы подразумевать это, хотя Второй Производный Тест не дал никакой информации) и критическое число (точка) в # Х = 1 # не дает ни локальный максимум, ни минимум для # Е #, но (одномерная) "седловая точка".