Ответ:
# Х ^ 3-3x + 6 # имеет локальные экстремумы в # х = -1 # а также # Х = 1 #
Объяснение:
Локальные экстремумы функции возникают в точках, где первая производная функции имеет вид #0# и знак первой производной меняется.
То есть для #Икс# где #f '(x) = 0 # и либо #f '(x-varepsilon) <= 0 и f' (x + varepsilon)> = 0 # (местный минимум) или
#f '(x-varepsilon)> = 0 и f' (x + varepsilon) <= 0 # (локальный максимум)
Чтобы найти локальные экстремумы, нам нужно найти точки, в которых #f '(x) = 0 #.
#f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) #
так
#f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + - 1 #
Глядя на знак # Е '# мы получаем
# {(f '(x)> 0, если x <-1), (f' (x) <0, если -1 <x <1), (f '(x)> 0, если x> 1):} #
Так что знак # Е '# изменения в каждом из #x = -1 # а также #x = 1 # Это означает, что в обеих точках есть локальный экстремум.
Примечание: по изменению знаков мы можем далее сказать, что существует локальный максимум при #x = -1 # и локальный минимум в #x = 1 #.
