Ответ:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Объяснение:
Чтобы эта проблема имела смысл # 4-9x ^ 2> = 0 #, так # -2/3 <= х <= 2/3 #, Поэтому мы можем выбрать # 0 <= и <= пи # такой, что # Х = 2 / 3cosu #, Используя это, мы можем заменить переменную x в интеграле, используя # Дх = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # здесь мы используем это # 1-соз ^ 2u = зш ^ 2u # и что для # 0 <= и <= пи # #sinu> = 0 #.
Теперь мы используем интеграцию по частям, чтобы найти # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + и + с-intcos ^ 2udu #, Следовательно # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + и + с) #.
Итак, мы нашли #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #теперь подставляем #Икс# назад для # # U, с помощью # И = соз ^ (- 1) ((3x) / 2) #, так #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + с #.
Мы можем еще больше упростить это, используя определение синусов и косинусов в терминах треугольников. Для прямоугольного треугольника с углом # # U в одном из неправильных углов, # sinu = "противоположная сторона" / "самая длинная сторона" #, в то время как # cosu = "соседняя сторона" / "самая длинная сторона" #, так как мы знаем # ЦБОО = (3x) / 2 #мы можем выбрать соседнюю сторону, чтобы быть # 3x # и самая длинная сторона #2#, Используя теорему Пифагора, мы находим противоположную сторону #sqrt (4-9x ^ 2) #, так #sin (соз ^ (- 1) ((3x) / 2)) = Sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #, Следовательно #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
