Что такое интеграл от (ln (xe ^ x)) / x?

Ответ:

# Int # # ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Объяснение:

Нам дают:

# Int # #ln (х ^ х) / (х) ах #

С помощью #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

С помощью #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

С помощью #ln (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Расщепление дроби (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Разделение суммированных интегралов:

# = Int # #ln (x) / xdx + int dx #

Второй интеграл просто #x + C #, где # C # произвольная постоянная. Первый интеграл мы используем # # UЗАМЕНА:

Позволять #u эквивалента ln (x) #отсюда #du = 1 / x dx #

С помощью # # UЗАМЕНА:

# = int udu + x + C #

Интегрирование (произвольная постоянная # C # может поглотить произвольную константу первого неопределенного интеграла:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Подставляя обратно с точки зрения #Икс#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Ответ:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Объяснение:

Мы начнем с использования следующего логарифма:

#ln (аb) = Ln (а) + п (б) #

Применяя это к интегралу, мы получаем:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Чтобы оценить оставшийся интеграл, мы используем интеграцию по частям:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

я позволю #f (х) = п (х) # а также #G '(х) = 1 / х #, Затем мы можем вычислить, что:

#f '(х) = 1 / х # а также #G (х) = п (х) #

Затем мы можем применить формулу интегрирования по частям, чтобы получить:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Поскольку у нас есть интеграл по обе стороны от знака равенства, мы можем решить его как уравнение:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Возвращаясь к исходному выражению, мы получаем наш окончательный ответ:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #