Каковы локальные экстремумы, если таковые имеются, f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Ответ:

Параболы имеют ровно одну экстремум, вершину.

это #(-4 1/2, -19 1/4)#.

поскольку # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # везде функция вогнута везде, и эта точка должна быть минимальной.

Объяснение:

У вас есть два корня, чтобы найти вершину параболы: во-первых, используйте исчисление, чтобы найти, где производная равна нулю; во-вторых, избегайте исчисления любой ценой и просто заполните квадрат. Мы собираемся использовать исчисление для практики.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #нам нужно взять производную от этого.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

По линейности производной имеем

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Используя правило силы, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # у нас есть

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Мы устанавливаем это равным нулю, чтобы найти критические точки, локальные и глобальные минимумы и максимумы, а иногда и точки перегиба имеют производные от нуля.

# 0 = 2х + 9 # #=># # Х = -9/2 #,

поэтому у нас есть одна критическая точка в # Х = -9/2 # или же #-4 1/2#.

Чтобы найти координату y критической точки, мы в # Х = -9/2 # вернуться в функцию, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Критическая точка / вершина #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Мы знаем это, потому что #a> 0 #это максимум.

Чтобы формально определить, являются ли это максимумы или минимумы, нам нужно выполнить второй производный тест.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Вторая производная равна 2 при всех значениях х. Это означает, что оно больше нуля везде, и функция везде вогнута (это парабола с #a> 0 # в конце концов), поэтому экстремумы должны быть как минимум, вершина.