Отличить от первого принципа x ^ 2sin (x)?

Ответ:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # из определения производной и принимая некоторые ограничения.

Объяснение:

Позволять #f (x) = x ^ 2 sin (x) #, затем

# (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x), cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x), cos (h) + sin (h), cos (x))) / h + #

# lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x), cos (h) + sin (h), cos (x))) / h #

тригонометрической идентичностью и некоторыми упрощениями. На этих четырех последних строчках мы имеем четыре условия.

Первый срок равно 0, так как

#lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x), cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, который можно увидеть, например, из расширения Тейлора или правила Л'Оспиталя.

Четвертый срок также исчезает, потому что

#lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x), cos (h) + sin (h), cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Теперь второй срок упрощает до

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, поскольку

#lim_ {h to 0} (sin (h)) / h = 1 #как показано здесь, или, например, Правило госпиталя (см. Ниже).

третий срок упрощает до

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x), cos (h) + sin (h), cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

который после добавление ко второму члену дает это

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Примечание: по правилу L'Hospital, так как # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # а также # lim_ {h to 0} h = 0 # и обе функции дифференцируемы вокруг # Ч = 0 #у нас есть это

# lim_ {h to 0} sin (h) / h = lim_ {h to 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h to 0} cos (h) = 1 #.

Лимит # lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # может быть показано аналогично.