Как мне найти интеграл int (x * cos (5x)) dx?

Мы будем иметь в виду формулу для интеграции по частям, которая:

#int u dv = uv - int v du #

Чтобы успешно найти этот интеграл, #u = x #, а также #dv = cos 5x dx #, Следовательно, #du = dx # а также #v = 1/5 sin 5x #. (# V # можно найти с помощью быстрого # # UЗАМЕНА)

Причина, которую я выбрал #Икс# для значения # # U потому что я знаю, что позже я в конечном итоге интеграции # V # умножается на # # Uпроизводная. Поскольку производная # # U просто #1#и поскольку интеграция функции триггера сама по себе не делает ее более сложной, мы фактически удалили #Икс# от подынтегрального и теперь нужно беспокоиться о синусе сейчас.

Итак, подключившись к формуле IBP, мы получим:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Потянув #1/5# из подынтегрального выражения дает нам:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Интеграция синуса займет только # # UЗАМЕНА. Так как мы уже использовали # # U для формулы IBP я буду использовать письмо # Д # вместо:

#q = 5x #

#dq = 5 дх #

Чтобы получить # 5 dx # внутри подынтегрального выражения я умножу интеграл на другое #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

И, заменяя все с точки зрения # Д #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Мы знаем, что интеграл # Грех # является # # -CosТаким образом, мы можем легко завершить этот интеграл. Запомните постоянную интеграции:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Теперь просто подставим обратно # Д #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

И есть наш интеграл.