Как вы находите антипроизводное (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Ответ:

#arctan (e ^ x) + C #

Объяснение:

# "напишите" e ^ x "dx как" d (e ^ x) ", тогда мы получим" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "с заменой y =" e ^ x ", мы получаем" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "который равен" #

#arctan (y) + C #

# "Теперь подставь обратно" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Ответ:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Объяснение:

Мы хотим найти # ^ Х ин / (1 + е ^ (2x)) "д" х = int1 / (1+ (е ^ х) ^ 2) е ^ х "д" х #

Теперь давай # = Е ^ х # и поэтому взятие дифференциала с обеих сторон дает # Дю = е ^ XDX #, Теперь подставим оба эти уравнения в интеграл, чтобы получить

# Int1 / (1 + и ^ 2) "д" U #

Это стандартный интеграл, который оценивает # Arctanu #, Подставляя обратно для #Икс# мы получаем окончательный ответ:

#arctan e ^ x + "c" #

Ответ:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Объяснение:

Во-первых, мы даем # И = 1 + е ^ (2x) #, Интегрировать по отношению к # # U, мы делим на производную # # U, который # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Интегрировать по отношению к # # Uнам нужно все, выраженное в терминах # # U, поэтому нам нужно решить для чего # Е ^ х # с точки зрения # # U:

# И = 1 + е ^ (2x) #

# Е ^ (2x) = и-1 #

# 2x = Ln (U-1) #

# Х = 1 / 2ln (и-1) #

# Х = Ln ((и-1) ^ (1/2)) = Ln (SQRT (и-1)) #

# Е ^ х = е ^ (п (SQRT (и-1))) = SQRT (и-1) #

Теперь мы можем вставить это обратно в интеграл:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Далее мы введем замену с # Г = SQRT (и-1) #, Производная это:

# (Дг) / (ди) = 1 / (2sqrt (U-1) #

поэтому мы делим на него, чтобы интегрировать по отношению к # Г # (помните, что деление такое же, как умножение на обратное):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Теперь мы снова имеем неправильную переменную, поэтому нам нужно решить, для чего # # U равно с точки зрения # Г #:

# Г = SQRT (и-1) #

# U-1 = г ^ 2 #

# = Г ^ 2 + 1 #

Это дает:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Это общая производная от # Загар ^ -1 (г) #Итак, мы получаем:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Отменив все замены, мы получим:

# Загар ^ -1 (г) + С = ^ -1 загар (SQRT (и-1)) + С = #

# = Загар ^ -1 (SQRT (1 + е ^ (2x) -1)) + С = ^ -1 загар ((е ^ (2x)) ^ (1/2)) + С = #

# = ^ -1 рыжевато-коричневый (е ^ х) + С #