Как вы находите антипроизводное dx / (cos (x) - 1)?

Ответ:

Выполните некоторое сопряженное умножение, примените триггер и завершите, чтобы получить результат # Int1 / (cosx-1) ах = cscx + cotx + C #

Объяснение:

Как и в случае большинства проблем этого типа, мы решим это с помощью метода сопряженного умножения. Всякий раз, когда вы что-то делите на что-то плюс / минус что-то (как в # 1 / (cosx-1) #), всегда полезно попробовать сопряженное умножение, особенно с тригонометрическими функциями.

Начнем с умножения # 1 / (cosx-1) # сопряженным # Cosx-1 #, который # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Вы можете удивиться, почему мы это делаем. Так что мы можем применить свойство разности квадратов, # (А-б) (а + б) = а ^ 2-B ^ 2 #в знаменателе, чтобы немного упростить. Вернуться к проблеме:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (белый) (III), acolor (белый) (ХХХ) bcolor (белый) (ХХХ) acolor (белый) (XXX) б #

Обратите внимание, как это по существу # (А-б) (а + б) #.

# = (Cosx + 1) / (соз ^ 2x-1) #

Теперь, что насчет # соз ^ 2x-1 #? Ну мы знаем # Грех ^ 2x = 1-соз ^ 2x #, Давайте умножим это на #-1# и посмотрим, что мы получим:

# -1 (син ^ 2x = 1-соз ^ 2x) -> - SIN ^ 2x = -1 + соз ^ 2x #

# = Соз ^ 2-1 #

Оказывается, что # -Sin ^ 2x = соз ^ 2x-1 #так что давайте заменим # соз ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- грех ^ 2x #

Это эквивалентно # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #который, используя некоторый триг, сводится к # -Cotxcscx-CSC ^ 2x #.

На данный момент мы упростили к интегральной # Int1 / (cosx-1) ах # в # INT-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #, Используя правило сумм, это становится:

# INT-cotxcscxdx + ИНТ-CSC ^ 2xdx #

Первый из них # Cscx # (потому что производная # Cscx # является # -Cotxcscx #) а второй # Cotx # (потому что производная # Cotx # является # -Csc ^ 2x #). Добавьте на константу интеграции # C # и у вас есть решение:

# Int1 / (cosx-1) ах = cscx + cotx + C #