Что такое экстремумы и седловые точки f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Ответ:

Объяснение:

У нас есть:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Шаг 2 - Определить критические точки

Критическая точка возникает при одновременном решении

# f_x = f_y = 0 тогда и только тогда (частичный f) / (частичный x) = (частичный f) / (частичный y) = 0 #

т.е. когда:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Решая A и B одновременно, мы получаем одно решение:

# x = y = 1 #

Таким образом, можно сделать вывод, что есть один критический момент:

# (1,1) #

Шаг 3 - Классификация критических точек

Чтобы классифицировать критические точки, мы проводим тест, аналогичный тесту одного переменного исчисления, используя вторые частные производные и матрицу Гессе.

# Дельта = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((частичное ^ 2 f) / (частичное x ^ 2), (частичное ^ 2 f) / (частичное x частичное y)), ((частичное ^ 2 f) / (частичное y частичное x), (частичное ^ 2 f) / (частично y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Тогда в зависимости от значения # Delta #:

# {: (Delta> 0, «Существует максимум, если» f_ (xx) <0), (, »и минимум, если« f_ (xx)> 0), (Delta <0, «есть седловая точка»), (Delta = 0, «Необходим дальнейший анализ»):} #

Используя пользовательские макросы Excel, значения функций вместе с частными производными вычисляются следующим образом: