Вода, вытекающая на пол, образует круглый бассейн. Радиус бассейна увеличивается со скоростью 4 см / мин. Насколько быстро увеличивается площадь бассейна при радиусе 5 см?

Ответ:

# 40pi # # "см" ^ 2 "/ мин" #

Объяснение:

Во-первых, мы должны начать с известного нам уравнения, связывающего площадь круга, бассейн и его радиус:

# A = пир ^ 2 #

Тем не менее, мы хотим увидеть, насколько быстро увеличивается площадь пула, которая очень похожа на скорость … которая очень похожа на производную.

Если мы возьмем производную # A = пир ^ 2 # относительно времени, # Т #, Мы видим, что:

# (ДА) / дт = пи * 2r * (DR) / дт #

(Не забывайте, что правило цепочки применяется с правой стороны, с # Г ^ 2 #- это похоже на неявное дифференцирование.)

Итак, мы хотим определить # (ДА) / дт #, Вопрос сказал нам, что # (DR) / дт = 4 # когда он сказал, «радиус пула увеличивается со скоростью #4# см / мин ", и мы также знаем, что мы хотим найти # (ДА) / дт # когда # Г = 5 #, Подставляя эти значения, мы видим, что:

# (ДА) / дт = пи * 2 (5) * 4 = 40pi #

Чтобы выразить это словами, мы говорим, что:

Площадь бассейна увеличивается со скоростью # Bb40pi # см# "" ^ Bb2 #/ мин, когда радиус круга # Bb5 # см.

Высота треугольника увеличивается со скоростью 1,5 см / мин, а площадь треугольника увеличивается со скоростью 5 кв. См / мин. С какой скоростью изменяется основание треугольника, когда высота составляет 9 см, а площадь составляет 81 кв. См?

Это проблема, связанная с типом ставок (изменений). Интересующие переменные: a = высота, A = площадь, и, поскольку площадь треугольника A = 1 / 2ba, нам нужно b = base. Указанные скорости изменения приведены в единицах в минуту, поэтому (невидимой) независимой переменной является t = время в минутах. Нам дают: (да) / DT = 3/2 см / мин (дА) / DT = 5 см "" ^ 2 / мин. И нас просят найти (дБ) / DT, когда а = 9 см и А = 81 см «» ^ 2 A = 1 / 2ba, дифференцируя по t, получим: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Нам понадобится правило продукта справа. (dA) / dt = 1/2 (дБ) / dt a + 1 / 2b (da) / dt Нам были даны все

Вода вытекает из перевернутого конического резервуара со скоростью 10000 см3 / мин, в то же время вода закачивается в резервуар с постоянной скоростью. Если резервуар имеет высоту 6 м, а диаметр в верхней части равен 4 м, и если уровень воды поднимается со скоростью 20 см / мин, когда высота воды составляет 2 м, как вы находите скорость, с которой вода закачивается в бак?

Пусть V - объем воды в резервуаре, в см ^ 3; пусть h - глубина / высота воды в см; и пусть r будет радиусом поверхности воды (сверху), в см. Поскольку бак представляет собой перевернутый конус, то же самое происходит с массой воды. Поскольку высота резервуара составляет 6 м, а радиус на вершине 2 м, из аналогичных треугольников следует, что frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, так что h = 3r. Тогда объем перевернутого конуса воды равен V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Теперь дифференцируем обе стороны по времени t (в минутах), чтобы получить frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (в этом случае использует

Разлив нефти из разорванного танкера распространяется по кругу на поверхности океана. Площадь разлива увеличивается со скоростью 9π м² / мин. Насколько быстро увеличивается радиус разлива при радиусе 10 м?

Др | _ (г = 10) = 0.45m // мин. Поскольку площадь круга равна A = pi r ^ 2, мы можем взять дифференциал с каждой стороны, чтобы получить: dA = 2pirdr Следовательно, радиус изменяется со скоростью dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Таким образом, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 м / мин.