Как ответить на них с помощью интеграции?

Ответ:

Площадь # = (32/3) и ^ 2 # и объем # = (512 / 15pi) и ^ 3 #

Объяснение:

Начните с поиска точки пересечения с осью X

# У = 4x-х ^ 2 = х (4x) = 0 #

Следовательно, # Х = 0 # а также # Х = 4 #

Площадь

# ДА = уйх #

# А = int_0 ^ 4 (4x-х ^ 2) ах #

# = 2x ^ 2-1 / 3x ^ 3 _0 ^ 4 #

#=32-64/3-0#

# = 32 / 3u ^ 2 #

Объем

# Д = Пий ^ 2dx #

# V = piint_0 ^ 4 (4x-х ^ 2) ^ 2dx #

# = Piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + х ^ 4) ах #

# = Пи 16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5 _0 ^ 4 #

# = Р (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) #

# = Pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) #

# = Р (512/15) #

Ответ:

а. #32/3#

б. # (512pi) / 15 #

Объяснение:

Во-первых, нам нужно найти точки, в которых график пересекает #Икс#-ось.

# 4x-х ^ 2 = х (4x) = 0 #

Или # Х = 0 # или же # 4-х = 0 #

# x = 0 или 4 #

Теперь мы знаем наши верхние и нижние границы.

а. # "Площадь под графиком" = int_b ^ af (x) dx #

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 = (2 (4) ^ 2-4 ^ 3/3) - (2 (0) ^ 2-0 ^ 3/3) = 32/3 #

б. # "Объем вращения" = piint_b ^ a (f (x)) ^ 2dx #

#f (х) = 2 ^ (4x-х ^ 2) ^ 2 = 16х ^ 2-8x ^ 3 + х ^ 4 #

# piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi (16x ^ 3) / 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi ((16 (4) ^ 3) / 3-2 (4) ^ 4 + 4 ^ 5/5) - ((16 (0) ^ 3) / 3-2 (0) ^ 4 + 0 ^ 5/5) = р 512/15 = (512pi) / 15 #