Каково значение частной производной? Приведите пример и помогите мне понять вкратце.

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Я надеюсь, что это помогает.

Частная производная неразрывно связана с общей вариацией.

Предположим, у нас есть функция #f (х, у) # и мы хотим знать, насколько это меняется, когда мы вводим приращение для каждой переменной.

Исправление идей, создание #f (x, y) = k x y # мы хотим знать, сколько это стоит

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

В нашем примере функции мы имеем

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

а потом

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Выбор #dx, dy # сколь угодно мал #dx dy ок. 0 # а потом

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

но в целом

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

сейчас делает #dx, dy # сколь угодно малы мы имеем

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

так что мы можем вычислить общее изменение для данной функции, вычисляя частные производные #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # и рецептура

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Здесь количества #f_ (x_i) # называются частными производными и также могут быть представлены как

# (частичное f) / (частичное x_i) #

В нашем примере

#f_x = (частичная f) / (частичная x) = k x # а также

#f_y = (частичная f) / (частичная y) = k y #

НОТА

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (е (х +, у + Dy) -f (х, у)) / дх #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

В дополнение к ответу Чезарео, приведенному выше, я приведу менее строгое математическое вступительное определение.

Частично говоря, частная производная говорит нам, насколько изменится функция с несколькими переменными при сохранении других переменных постоянными, Например, предположим, что нам дали

#U (A, T) = А ^ 2t #

куда # U # функция полезности (счастья) конкретного продукта, # A # это количество продукта, и # Т # время, в течение которого продукт используется.

Предположим, что компания, которая производит продукт, хотела бы знать, насколько большую полезность они могут извлечь из него, если они увеличат срок службы продукта на 1 единицу. Неполная производная сообщит компании эту стоимость.

Частная производная обычно обозначается строчной греческой буквой delta (# Частичная #), но есть и другие обозначения. Мы будем использовать # Частичная # теперь.

Если мы пытаемся выяснить, насколько полезность продукта изменяется с увеличением во времени на 1 единицу, мы вычисляем частную производную полезности по времени:

# (PartialU) / (partialt) #

Чтобы вычислить PD, мы держим другие переменные постоянными, В этом случае мы относимся # A ^ 2 #другая переменная, как будто это число. Напомним из вводного исчисления, что производная от константы, умноженная на переменную, является просто константой. Здесь та же идея: (частичная) производная # A ^ 2 #, постоянная, раз # Т #, переменная, это просто константа:

# (PartialU) / (partialt) = А ^ 2 #

Таким образом, увеличение времени использования продукта на 1 единицу # A ^ 2 # больше полезности. Другими словами, продукт становится более удовлетворительным, если его можно использовать чаще.

О частных производных можно сказать гораздо больше, фактически, целые курсы для студентов и аспирантов могут быть посвящены решению лишь нескольких типов уравнений с частными производными, но основная идея заключается в том, что частная производная говорит нам, сколько переменная меняется, когда остальные остаются прежними.