Используйте a) и b), чтобы доказать hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Из того, что вы там говорите, все, что мы должны сделать, это показать, что #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #, Похоже, что в любом месте, где вы получили этот вопрос, запутано определение # HatT_L #.

Мы докажем, что используя

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

дает

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

а также не #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, Если мы хотим, чтобы все было согласованно, то если #hatT_L = e ^ (- LhatD) #должно быть так # hatD, hatx = bb (-1) #, Я исправил вопрос и уже обратился к нему.

Из части 1 мы показали, что для этого определения (что #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

поскольку #f (x_0 - L) # это собственное государство # HatT_L #, непосредственная форма, которая приходит на ум, является экспоненциальным оператором # Е ^ (LhatD) #, Мы интуитивно понимаем, что #hatD = + ihatp_x // ℏ #, и мы покажем, что это правда.

Напомним, что в доказательстве, показанном в части 1, мы написали:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

и это где мы должны были бы использовать это. Все, что нам нужно сделать, это Тейлор расширить экспоненциальный оператор и покажите, что приведенное выше доказательство все еще верно.

Это также показано в деталях здесь. Я расширил его, чтобы быть более тщательным …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ п #

Дай это # L # является константой, мы можем выделить это из коммутатора. # Hatx # может войти, не будучи зависимым от индекса. Следовательно:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Теперь мы предложили #hatD = ihatp_x // ℏ #и это имело бы смысл, потому что мы знаем, что:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = отмена (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

чтобы # hatx, hatp_x = iℏ #, Это будет означать, что до #hatT_L = e ^ (LhatD) #наконец, мы можем получить ПОСТОЯННОЕ определение для обеих частей проблемы и получить:

#color (blue) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = цвет (синий) (1) #

Исходя из этого, мы дополнительно расширим коммутатор:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Теперь мы знаем # hatx, hatp_x #, но не обязательно # hatx, hatp_x ^ n #, Вы можете убедить себя, что

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

и это

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

чтобы:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x))

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) е) / (де ^ (п-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {отменить (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - отменить (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) е) / (де ^ (п-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Мы понимаем, что # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #, Таким образом,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, предоставлена #n> = 1 #.

Из этого мы находим:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ п} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

где, если вы оцениваете #n = 0 # термин, вы должны увидеть, что он идет к нулю, поэтому мы его опустили. Исходя из этого мы имеем:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

Здесь мы просто пытаемся сделать так, чтобы это снова выглядело как экспоненциальная функция.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(групповые термины)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(оцените снаружи)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(если # П # начинается с нуля, # (N-1) #этот термин становится # П #й срок.)

В результате мы наконец получаем:

# => color (blue) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = цвет (синий) (- LhatT_L) #

И мы снова вернемся к первоначальному коммутаторуто есть

# hatx, hatT_L = -LhatT_L color (blue) (sqrt "") #

Наконец, давайте покажем, что # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Записав это явно, мы можем увидеть, как это работает:

# = цвет (синий) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +.,, - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.,, #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.,, #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +.,, #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +.,, #

# = цвет (синий) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

и с тех пор # HatD # всегда коммутирует с собой, # hatD ^ n, hatD = 0 # и поэтому,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (синий) (SQRT "") #