Мяч упал прямо с высоты 12 футов. При ударе о землю он отскакивает на 1/3 расстояния, на которое упал. Как далеко будет двигаться шарик (вверх и вниз) до того, как он остановится?

Ответ:

Мяч будет путешествовать 24 фута.

Объяснение:

Эта проблема требует рассмотрения бесконечных рядов. Рассмотрим реальное поведение мяча:

Сначала мяч падает на 12 футов.

Далее мяч отскакивает #12/3 = 4# ноги.

Затем мяч падает на 4 фута.

На каждом последующем скачке мяч перемещается

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # ноги, где # П # это количество отказов

Таким образом, если мы представим, что мяч начинается с #n = 0 #тогда наш ответ можно получить из геометрического ряда:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Обратите внимание #-12# поправочный термин, это потому, что если мы начнем с # П = 0 # мы считаем 0-й отскок 12 футов вверх и 12 футов вниз. На самом деле мяч проходит только половину этого, поскольку он начинается в воздухе.

Мы можем упростить нашу сумму до:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Это всего лишь простой геометрический ряд, который следует правилу:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Пока # | Г | <1 #

Это дает простое решение нашей проблемы:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# ноги.