Что такое абелева группа с точки зрения линейной / абстрактной алгебры?

Ответ:

Абелева группа - это группа с дополнительным свойством групповой операции, являющейся коммутативной.

Объяснение:

группа # <G, •> # это набор #Г# вместе с бинарной операцией # •: GxxG-> G # которые удовлетворяют следующим условиям:

1. #Г# является закрыто под #•#.

   Для любого # А, Бинг #, у нас есть # a • b в G #

2. #•# является ассоциативный.

   Для любого # А, б, Cing #, у нас есть # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. #Г# содержит элемент идентичности

   Существует # Eing # такой, что для всех # АИНГ #, # • е = е • а = #

4. Каждый элемент #Г# имеет обратный в #Г#

   Для всех # АИНГ # Существует #a ^ (- 1) # в G. такой, что # A • а ^ (- 1) = а ^ (- 1) • а = е #

Говорят, что группа абелева если он также имеет свойство, которое #•# коммутативен, то есть для всех # А, Бинг #, у нас есть # a • b = b • a #.

Группа # <ZZ, +> # (целые числа со стандартным сложением) - абелева группа, так как она удовлетворяет всем пяти вышеперечисленным условиям.

Группа # GL_2 (РР) # (набор обратимый # 2 "х" 2 # матрицы с вещественными элементами вместе с умножением матриц) неабелева, поскольку, хотя она удовлетворяет первым четырем условиям, умножение матриц между обратимыми матрицами не обязательно является коммутативным. Например:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

но

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#