Что такое кусочно-непрерывная функция? + Пример

Ответ:

Кусочно-непрерывная функция - это непрерывная функция, за исключением конечного числа точек в ее области.

Объяснение:

Отметим, что точки разрыва кусочно-непрерывной функции не обязательно должны быть устранимыми разрывами. То есть мы не требуем, чтобы функция была сделана непрерывной, переопределив ее в этих точках. Достаточно того, что если мы исключим эти точки из области, то функция будет непрерывной в ограниченной области.

Например, рассмотрим функцию:

#s (x) = {(-1, "if x <0"), (0, "if x = 0"), (1, "if x> 0"):} #

graph {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2.5, 2.5}

Это непрерывно для всех #x в RR # Кроме #x = 0 #

Разрыв в # Х = 0 # не съемный Мы не можем переопределить #s (х) # в этот момент и получить непрерывную функцию.

В # Х = 0 # график функции «скачки». Более формально на лимитном языке мы находим:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Таким образом, левый предел и правый предел не согласуются друг с другом и со значением функции в # Х = 0 #.

Если мы исключим конечный набор разрывов из области, то функция, ограниченная этой новой областью, будет непрерывной.

В нашем примере определение #s (х) # как функция от # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # является непрерывным

Если мы граф #s (х) # ограниченный этим доменом, он все еще выглядит как прерывистый в #0#, но #0# не является частью домена, поэтому «прыжок» здесь не имеет значения. В любой момент, сколь угодно близко к #0#мы можем выбрать небольшой открытый интервал вокруг него, в котором функция является (постоянной и, следовательно) непрерывной.

Немного смущает, функция #tan (х) # считается непрерывным, а не кусочно-непрерывным, потому что асимптоты в #x = pi / 2 + n pi # исключены из домена.

график {tan (x) -10,06, 9,94, -4,46, 5,54}

Между тем, пилообразная функция #f (x) = x - этаж (x) # не считается кусочно-непрерывным как функция от # RR # в # RR #, но является кусочно-непрерывным на любом конечном открытом интервале.

график {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}