Чем полезно заполнение квадрата? + Пример

Ответ:

Упростить квадратные выражения, чтобы они стали разрешимыми с квадратными корнями.

Объяснение:

Завершение квадрата - пример преобразования Чирнхауса - использование замещения (хотя и неявно), чтобы привести полиномиальное уравнение к более простой форме.

Итак, учитывая:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # с #a! = 0 #

мы могли бы написать:

# 0 = 4a (топор ^ 2 + bx + c) #

# color (white) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (white) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (white) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (white) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (white) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Следовательно:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Так:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Итак, начав с квадратного уравнения в виде:

# топор ^ 2 + bx + c = 0 #

мы получили это в форме # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # с #t = (2ax + b) # а также # К = SQRT (б ^ 2-4ac) #, исключая линейный член, оставляя только квадратные члены.

Пока мы счастливы, вычисляя квадратные корни, теперь мы можем решить любое квадратное уравнение.

Завершение квадрата также полезно для приведения уравнения круга, эллипса или другого конического сечения в стандартную форму.

Например, учитывая:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

Завершая квадрат мы находим:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

что позволяет нам идентифицировать это уравнение как уравнение круга с центром #(2, -3)# и радиус #5#.