Как преобразовать r = 7 / (5-5costheta) в прямоугольную форму?

Ответ:

Это боковая парабола # 70 х = 25 лет ^ 2 - 49. #

Объяснение:

Этот интересный, потому что он просто расходится; минимум знаменателя равен нулю. Это коническое сечение; просто расходящаяся, я думаю, делает это параболой. Это не имеет большого значения, но оно говорит нам, что мы можем получить хорошую алгебраическую форму без тригонометрических функций или квадратных корней.

Лучший подход - это Сорта в обратном направлении; мы используем полярные и прямоугольные замены, когда кажется, что другой путь был бы более прямым.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Так # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Мы видим Нг> 0. # Начнем с очистки дроби.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

У нас есть #r cos theta # так вот #Икс.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Наше первоначальное наблюдение было #r> 0 # так что квадрат в порядке.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Теперь мы заменяем снова.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Технически мы ответили на вопрос на данный момент, и мы могли бы остановиться здесь. Но есть еще алгебра, и, надеюсь, награда в конце: возможно, мы сможем показать, что это на самом деле парабола.

# 25 x ^ 2 + 25 лет ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 лет ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

график {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17,35, 50, -30, 30}

Да, это парабола, повернутая # 90 ^ # КОНТУРот обычной ориентации.

Проверить: Альфа эйбол