Пусть V = R³ и W = {(x, y, z) x + y + z = 0} подпространство в V. Какие из следующих пар векторов находятся в одном и том же смежном классе W в V? (Я) (1,3,2) и (2,2,2). (II) (1,1,1) и (3,3,3).

Ответ:

# #

# mbox {i)} (1,3,2) mbox {and} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {принадлежат одному и тому же классу} W. #

# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {and} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {не принадлежат одному классу} W. #

Объяснение:

# #

# mbox {1) Обратите внимание, что, учитывая данные на} W, mbox {мы можем описать} mbox {элементы} W mbox {как эти векторы} V mbox {где} mbox {сумма координат} 0. #

# #

# mbox {2) Теперь вспомните, что:} #

# mbox {два вектора принадлежат одному классу любого подпространства} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {их различие принадлежит самому подпространству}. #

# #

# mbox {3) Таким образом, чтобы определить принадлежность к одному и тому же смежному классу} W, mbox {необходимо и достаточно определить, принадлежит ли разность этих векторов} mbox {} W: #

# qquad vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {тот же класс} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} in W. #

# #

# mbox {Следовательно, по описанию} W mbox {в (1) выше, мы имеем:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {тот же класс} W quad iff quad mbox {сумма координат} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {Дело в этом простом вычислении.} #

# #

# 4) mbox {Продолжая две заданные пары векторов, и} mbox {выполняя это вычисление для каждой пары, мы находим: #

# quad mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {и т. д.} #

# qquad qquad mbox {сумма координат} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Следовательно:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {and} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {принадлежат одному классу} W. #

# #

# quad mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {и т. д.} #

# qquad qquad mbox {сумма координат} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Следовательно:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {and} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {не принадлежат к одному классу} W. #