Каково расстояние между (0, 0, 8) и (9, 2, 0)?

Ответ:

Расстояние #sqrt (149) #

Объяснение:

Расстояние между двумя точками

# (x_1, y_1, z_1) #

а также

# (x_2, y_2, z_2) #

в # RR ^ 3 # (три измерения) дается

# "расстояние" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Применяя это к проблеме, мы получаем расстояние между #(0, 0, 8)# а также #(9, 2, 0)# как

# "расстояние" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Ниже приведено объяснение того, откуда берется формула расстояния, и оно не является необходимым для понимания вышеуказанного решения.

Приведенная выше формула расстояния выглядит подозрительно похожей на формулу расстояния в # RR ^ 2 # (два измерения):

# "расстояние" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

что происходит от простого применения теоремы Пифагора, рисуя прямоугольный треугольник между двумя точками с ногами, параллельными #Икс# а также # У # Оси.

Оказывается, # RR ^ 3 # Версия может быть получена аналогичным образом. Если мы используем (максимум) 3 линии для соединения двух точек, идущих параллельно #Икс#, # У #, а также # Г # Оси, мы получаем коробку с точками в противоположных углах. Итак, давайте разберемся, как рассчитать расстояние по диагонали бокса.

Мы пытаемся выяснить длину красной линии #color (красный) (AD) #

Как это гипотенуза треугольника # ABD #из теоремы Пифагора:

# (цвет (красный) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (цвет (синий) (BC)) ^ 2 #

# => цвет (красный) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (цвет (синий) (BC)) ^ 2) "(i)" #

К сожалению, у нас нет длины #color (синий) (BD), # как данность. Чтобы получить это, мы должны снова применить теорему Пифагора, на этот раз к треугольнику # BCD #.

# (цвет (синий) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Поскольку нам нужен только квадрат #color (синий) (BD), #Теперь мы можем заменить # ("II") # в #("я")#:

# color (red) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Наконец, если у нас есть # A # в # (x_1, y_1, z_1) # а также # D # в # (x_2, y_2, z_2) #тогда у нас есть длины

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Подставляя их в вышесказанное, мы получаем желаемый результат.

В качестве дополнительного примечания, хотя мы можем легко выполнять геометрические доказательства только в трех измерениях, математики обобщают расстояние в # RR ^ п # (# П # размеры). Расстояние между

# (x_1, x_2, …, x_n) # а также # (y_1, y_2, …, y_n) # определяется как

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

который соответствует шаблону из # RR ^ 2 # а также # RR ^ 3 #.