Как решить для inte ^ xcosxdx?

Ответ:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Объяснение:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Мы будем использовать интеграцию по частям, которая утверждает, что #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Используйте интеграцию по частям, с # = Е ^ х #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, а также # V = Sin (х) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Используйте интеграцию по частям снова ко второму интегралу, с # = Е ^ х #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, а также # V = -cos (х) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Теперь, напомним, мы определили # I = int e ^ x cos (x) "d" x #, Таким образом, вышеприведенное уравнение становится следующим (не забывая добавить константу интегрирования):

# Я = е ^ xsin (х) + е ^ xcos (х) -I + C #

# 2I = е ^ xsin (х) + е ^ xcos (х) + С = е ^ х (син (х) + соз (х)) + C #

# = 1 / 2e ^ х (син (х) + соз (х)) + C #

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Использование личности де Мойвра

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # у нас есть

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

но #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

и наконец

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #