Какие примеры сходящихся рядов?

Ответ:

Вот три важных примера …

Объяснение:

Геометрическая серия

Если #abs (r) <1 # тогда сумма геометрического ряда #a_n = r ^ n a_0 # сходится:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Экспоненциальная функция

Серия, определяющая # Е ^ х # сходится для любого значения #Икс#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Чтобы доказать это, для любого данного #Икс#, позволять # N # быть целым больше #abs (х) #, затем # сумма_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # сходится, так как это конечная сумма и # сумма_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # сходится, так как абсолютное значение отношения последовательных членов меньше #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Базельская проблема

Задача Базеля, поставленная в 1644 году и решенная Эйлером в 1734 году, задала значение суммы обратных величин квадратов натуральных чисел:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #