(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Давайте сделаем это ???

Ответ:

#a = 1, b = 1 #

Объяснение:

Решая традиционный путь

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Сейчас решаю для # A #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # но # A # должно быть реальным, поэтому условие

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # или же # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

теперь подставляем и решаем # A #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # и решение

#a = 1, b = 1 #

Еще один способ сделать то же самое

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

но

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

и в заключение

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Ответ:

D. Существует ровно одна пара решений # (a, b) = (1, 1) #

Объяснение:

Дано:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Обратите внимание, что мы можем превратить это в хорошую симметричную однородную задачу, обобщив:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

затем установить # C = 1 # в конце.

Развернув обе стороны этой обобщенной задачи, мы имеем:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Вычитая левую часть с обеих сторон, получим:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

# color (white) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (white) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Для реальных значений # A #, # Б # а также # C #, это может быть только в том случае, если все # (А-б) #, #(До нашей эры)# а также # (С-а) # равны нулю и, следовательно:

#a = b = c #

Затем положить # C = 1 # мы находим единственное решение исходной проблемы, а именно # (a, b) = (1, 1) #