Вопрос 242a2

Ответ:

Для энергии, хранящейся в конденсаторе во время # Т # у нас есть #E (т) == Е (0) ехр (-2t / (CR)) # где #E (0) # это начальная энергия, # C # емкость и #Р# сопротивление провода, соединяющего две стороны конденсатора.

Объяснение:

Давайте сначала рассмотрим некоторые основные концепции, прежде чем ответить на этот вопрос. Конечно, нам нужно знать энергию, запасенную в конденсаторе, или, точнее, энергию, накопленную в электрическом поле, создаваемом зарядом, хранящимся в конденсаторе. Для этого у нас есть формула # Е = 1 / 2Q ^ 2 / С # с # C # емкость конденсатора и # Q # заряд хранится на одной из пластин конденсатора. 1

Итак, чтобы узнать, как уменьшается энергия, нам нужно знать, как уменьшается заряд. Для этого есть несколько вещей, которые мы должны иметь в виду. Во-первых, это то, что заряд может уменьшиться, только если он может идти куда угодно. Простейший сценарий состоит в том, что две пластины соединены проводом, так что пластины могут обмениваться зарядом, чтобы они стали нейтральными. Во-вторых, если мы предположим, что провод не имеет сопротивления, заряд сможет двигаться мгновенно, поэтому энергия также упадет до нуля с такой скоростью. Поскольку это скучная ситуация, и, кроме того, она не очень реалистична, мы предполагаем, что провод имеет некоторое сопротивление #Р#, который мы можем смоделировать, подключив пластины конденсаторов через резистор с сопротивлением #Р# используя провода без сопротивления.

Теперь у нас есть так называемая RC-схема, показанная ниже. Чтобы узнать, как изменяется накопленный заряд, нам нужно записать некоторое дифференциальное уравнение. Я не уверен, насколько опытный читатель в математике, поэтому, пожалуйста, дайте мне знать, если вам не понятен следующий раздел, и я постараюсь объяснить его более подробно.

Прежде всего отметим, что когда мы идем по проводу, мы испытываем два скачка электрического потенциала (напряжения), а именно на конденсаторе и на резисторе. Эти прыжки даются # DeltaV_C = Q / C # а также # DeltaV_R = ИК # соответственно 1. Заметим, что изначально тока нет, поэтому разность потенциалов на резисторе равна 0, однако, как мы увидим, будет ток, когда начнут двигаться заряды. Теперь отметим, что когда мы обходим круг, начиная с одной точки, мы снова окажемся в той же точке, потому что мы находимся в цепи. В этой единственной точке потенциал одинаков оба раза, потому что это одна и та же точка. (Когда я говорю, что мы идем по схеме, я не имею в виду это буквально, скорее, мы проверяем скачки напряжения в цепи в какой-то момент времени, поэтому при проходе по схеме время не проходит, поэтому аргумент верен, даже если напряжение меняется во времени.)

Это означает, что полный скачок потенциала равен нулю. Так # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = ИК + Q / C #, Теперь мы думаем о том, что #Я#тока есть. Ток - это движущийся заряд, он снимает положительный заряд с одной пластины конденсатора и доставляет его к другой. (На самом деле в большинстве случаев все наоборот, но это не имеет значения для математики этой задачи.) Это означает, что ток равен изменению заряда на пластинах, другими словами # I = (DQ) / дт #, Подставляя это в уравнение выше, мы получаем # (DQ) / DTR + Q / С = 0 #, что значит # (DQ) / дт = -Q / (CR) #, Это так называемое линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Он диктует изменение заряда на величину заряда в это время линейным образом, что означает, что если бы заряд был в два раза больше, изменение заряда также было бы вдвое больше. Мы можем решить это уравнение с помощью умного использования исчисления.

# (DQ) / дт = -Q / (CR) #, мы предполагаем # Qne0 #, чего изначально нет, и, как выяснилось, никогда не будет. Используя это, мы можем сказать, # 1 / Q (DQ) / дт = -1 / (CR) #, Знать # Q # в какой-то момент времени # Т # (другими словами #Q (т) #интегрируем уравнение следующим образом: # Int_0 ^ t1 / (Q (T ')) (DQ (т')) / (дт ') дт' = int_0 ^ t1 / (CR), дт '= - т / (CR) # поскольку # C # а также #Р# являются постоянными. # Int_0 ^ t1 / (Q (T ')) (DQ (т')) / (дт ') дт' = int_ (Q (0)) ^ (Q (T)) (DQ) / Q = Ln ((Q (T)) / (Q (0))) # через изменение переменных. Это означает #ln ((Q (T)) / (Q (0))) = - т / (CR) #, так #Q (т) = Q (0) ехр (-t / (CR)) #.

Наконец, нам нужно заменить это обратно в уравнении для энергии:

#E (т) = 1/2 (Q (T) ^ 2) / С = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Сехр (-2t / (CR)) = Е (0) ехр (-2t / (CR)) #.

Таким образом, энергия падает экспоненциально во времени. Действительно, мы видим, что если #Р# должны были пойти в ноль, #E (т) # будет идти к 0 мгновенно.

1 Гриффитс, Дэвид Дж. Введение в электродинамику, Четвертое издание. Pearson Education Limited, 2014