Каковы возможные рациональные корни x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Ответ:

Эта квинтика не имеет рациональных корней.

Объяснение:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

По теореме рационального корня любые нули #f (х) # выражаются в виде # Р / д # для целых чисел #p, q # с #п# делитель постоянного члена #-12# а также # Д # делитель коэффициента #1# ведущего срока.

Это означает, что единственно возможный рациональный нули:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Обратите внимание, что #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # имеет все отрицательные коэффициенты. следовательно #f (х) # не имеет отрицательных нулей.

Так что единственно возможный рациональный нули:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Оценка #f (х) # для каждого из этих значений мы не найдем ни одного нуля. Так #f (х) # не имеет рациональный нули.

Как и в большинстве квинтиков и полиномов более высокой степени, нули не выражаются в терминах # П #корни или элементарные функции, включая тригонометрические функции.

Вы можете использовать численные методы, такие как Дюран-Кернер, чтобы найти приближения:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #