Как выбрать два числа, для которых сумма их квадратных корней минимальна, зная, что произведение двух чисел равно?

Ответ:

# х = у = SQRT (а) #

Объяснение:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "минимально" #

# "Мы могли бы работать с множителем Лагранжа L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Получение урожая:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(после умножения на x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "МИНИМАЛЬНЫЙ" #

# "Теперь нам еще нужно проверить x = 0." #

# "Это невозможно, так как x * y = 0 тогда." #

# "Так что у нас есть уникальное решение" #

# х = у = SQRT (а) #

Ответ:

Я постараюсь провести вас через метод решения ниже.

Объяснение:

Что мы ищем?

Два числа. Давайте дадим им имена, #Икс# а также # У #.

Перечитайте вопрос.

Мы хотим, чтобы сумма квадратных корней была минимальной.

Это говорит нам о двух вещах

(1) оба числа неотрицательны (чтобы избежать мнимых)

(2) нас интересует ценность # Sqrtx + sqrty #

Перечитайте вопрос.

Нам также говорят, что продукт #Икс# а также # У # является # A #.

Кто выбирает # A #?

В общем, если упражнение что-то говорит о # A # или же # Б # или же # C #мы принимаем их как константы, заданные кем-то другим.

Таким образом, мы могли бы сказать "продукт #Икс# а также # У # является #11#'

или "продукт #Икс# а также # У # является #124#'.

Мы должны решить все это сразу, сказав # Х = а # для некоторой константы # A #.

Итак, мы хотим сделать # Sqrtx + sqrty # как можно меньше, сохраняя # Х = а # для некоторой константы # A #.

Это похоже на проблему оптимизации, и она одна. Поэтому я хочу минимизировать функцию одной переменной.

# Sqrtx + sqrty # имеет две переменные, #Икс# а также # У #

# Х = а # также имеет две переменные, #Икс# а также # У # (Помните # A # это константа)

Так #y = a / x #

Теперь мы хотим минимизировать:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Найдите производную, затем критическое число (я) и проверьте критическое число (я). Готово найти # У #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

критический # Sqrta #

#f '(x) <0 # за #x <sqrta # а также #f '(x)> 0 # за #x> sqrta #, так #f (sqrta) # это минимум.

#x = sqrta # а также #y = a / x = sqrta #

Ответ:

# 2 root (4) (a) #

Объяснение:

Мы знаем, что для #x_i> 0 # у нас есть

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

затем

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # затем

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

но # x_1x_2 = a # затем

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #