Ответ:
Начать с
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Давайте заменим секущий косинусом.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Теперь мы берем производную по x на обеих сторонах!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Производная константы равна нулю, а производная линейна!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Теперь используя правило продукта только на первых двух терминах, которые мы получаем!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Следующие много и много веселья с правилом цепи! Смотрите последний срок!
(также делает простые производные х)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Выполнение некоторых из этих производных y, производных xy и производных cos (xy) также выполняет правило произведения и правило цепи еще раз в последней части последнего члена.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Немножко натри и доработай все производные
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Теперь разделить на срок с # Ого / д # и без
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Принеси все без # Ду / дх # с одной стороны и сбор как термины с другой
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Разделите хотя бы, чтобы найти # Ду / дх #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Это было очень долго!
Объяснение:
Мы пошли с ОЧЕНЬ длинным объяснением на простом примере, потому что неявное дифференцирование может быть сложным, а правило цепочки очень, очень и очень важно.
Вам нужно использовать около трех правил BIG Calculus для решения этой и трех конкретных производных функций.
1) Линейность производной.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Правило продукта.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) безусловно, самая важная концепция в неявной дифференциации
цепное правило, Для составных функций, функций других функций, #f (и (х)) # у нас есть, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Вы можете продолжать идти с этим
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, и так далее. Заметка # Дх / дх = 1 #.
Пример: если у вас есть функция функции #f (и) # где # # U является функцией #Икс#, т.е. #f (х) = SQRT (1-х ^ 2) # (Вот #f (и) = SQRT (и) # а также #u (х) = 1-х ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / дх (1-х ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # отзыв # И = (1-х ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Выражения для определенных типов функций.
А) Как взять производную от степенных функций, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
Б) Как взять производную от # Е ^ х #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- скучно, а?
В) Как взять производную от # cos (x) # так как # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Ключом к неявному дифференцированию является использование правила цепочки для получения производной по x от и функции от x и y, как у круга.
# 9 = х ^ 2 + у ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
