Если f (x) = x tan ^ -1 то f (1) - это что?

Ответ:

# f (1) # где #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Объяснение:

Я предполагаю, что вопрос #f (1) # где #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Обычно я бы относился к # Агс # как многозначный. Но здесь с явным обозначением функции #f (х) # Я скажу, что мы хотим главное значение обратной касательной. Угол с касательной 1 в первом квадранте равен # 45 ^ # КОНТУР или же # Пи / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Это конец. Но давайте отложим вопрос в сторону и сосредоточимся на том, что #arctan t # действительно значит.

Я обычно думаю о #tan ^ -1 (t) # или эквивалентно (и я думаю, что лучше обозначить) #arctan (т) # как многозначное выражение, Арктан «function» на самом деле не является функцией, потому что это инверсия чего-то периодического, которое не может иметь инверсию во всей своей области.

Это действительно сбивает с толку студентов и преподавателей. Внезапно у нас есть вещи, которые выглядят как функции, которые на самом деле не являются функциями. Они как бы проскользнули под радар. Новые правила требуются, чтобы иметь дело с ними, но они никогда явно не заявлены. Математика начинает расплываться, когда не должна.

# x = arctan t # лучше всего рассматривать как решения для #tan x = t. # Их насчитывается бесконечно много, по одному за период. Касательная имеет период #число Пи# поэтому решения #число Пи# друг от друга, где #pi k # происходит от целого числа # К #.

Обычно я записываю основную величину обратной касательной как Арктан с большой буквы А. К сожалению, Сократик продолжает «исправлять» ее. Я буду выдумывать это здесь:

#t = загар x # есть решения

#x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad # для целого числа # К #.