Докажите это: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) 2 ^)?

Чтобы доказать

# Т.Г. ^ 5x = ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 / (1 + SiNx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 / (1 + SiNx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + SiNx) ^ 2- (1-SiNx) ^ 2) / (1-син ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-соз ^ 2x) 2 ^) #

# = ((4sinx) / соз ^ 4x) / ((4cosx) / (син ^ 4x)) #

# = грех ^ 5x / соз ^ 5x = загар ^ 5x = LHS #

Доказанные

Это одно из тех доказательств, что легче работать справа налево. Начните с:

# ((1 / (1-SiNx) ^ 2) - (1 / (1 + SiNx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Умножьте числитель и знаменатель вложенных дробей на «конъюгаты» (например, # 1pmsinx # на # 1 sinx #). Вы получаете это, например, # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx 2 /) ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-сов ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-сов ^ 2x) (1 + cosx))) #

Повторите предыдущий шаг, чтобы еще больше упростить знаменатель во вложенных дробях:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-сов ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-сов ^ 2x) ^ 2)) #

Используйте тождества # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # а также # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # получить:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (син ^ 4x)) #

Объединить дроби и перевернуть, чтобы умножить взаимные:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Разверните квадратные термины:

# = (отменить (1) + 2inx + отменить (sin ^ 2x) - (отменить (1) -2sinx + отменить (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (отменить (1) + 2cosx + отменить (соз ^ 2x) - (отмена (1) -2cosx + отменить (соз ^ 2x))) #

# = (отмена (4) sinx) / (потому что ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (отмена (4) cosx) #

# = цвет (синий) (загар ^ 5x) #