Найти f и «вычислить» интеграл?

Ответ:

Увидеть ниже

Объяснение:

# Е ^ е (х) + е '(х) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

# ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

Используя IV:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (от x до 0) y = + oo подразумевает C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) #

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

ШОУ немного

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx -цвет (красный) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# color (red) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1)) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

# подразумевает, что I - ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

• # int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

# подразумевает, что я ln (e-1) #

Ответ:

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

Я еще не мог продемонстрировать неравенство, но нашел более сильное неравенство.

Объяснение:

Позволять #g (x) = e ^ (f (x)) # так что, используя правило цепочки:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

Обратите внимание, что:

#f (x) = ln (g (x)) #, так:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

Подставляя в исходное уравнение получим:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

и как по определению #g (x)> 0 #:

# (дг) / дх + г ^ 2 (х) + г (х) = 0 #

который отделим:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

Разложение первого члена с использованием частичных дробей:

# 1 / (г (г + 1)) = 1 / г -1 / (г + 1) #

так:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = -int dx #

# ln g - ln (g + 1) = -x + c #

Используя свойства логарифмов:

# ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

Сейчас решаю для #г#:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

и наконец:

#g (x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

Сейчас:

#f (x) = ln (g (x)) = ln (e ^ (cx) / (1-e ^ (cx))) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x) #

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

Мы можем определить # C # из условия:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

Как:

#lim_ (x-> 0) c -x-ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

что конечно если # C = 0 #.

Затем:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

Рассмотрим теперь интеграл:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

Как:

# d / dx (e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

мы видим, что в интервале интегрирования функция строго убывает, поэтому ее максимальное значение # M # происходит для # х = LN2 #:

#M = (e ^ -ln2 / (1-e ^ -ln2)) (ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #

Затем:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

Ответ:

Вот еще один

Объяснение:

#a) #

# Е ^ е (х) + е '(х) + 1 = 0 # # <=> ^ (* Е ^ (- ф (х)) #

# 1 + Р '(х) е ^ (- Р (х)) + е ^ (- Р (х)) = 0 # #<=>#

# -F '(х) е ^ (- F (X)) = 1 + е ^ (- Р (х)) # #<=>#

# (Е ^ (- Р (х))) = 1 + е ^ (- Р (х)) # #<=>#

# (1 + е ^ (- Р (х))) = 1 + е ^ (- Р (х)) ## <=> (Х> 0) #

так что # C ##в## RR #, # 1 + е ^ (- F (X)) = се ^ х #

• #lim_ (xto0) е ^ (- ф (х)) = _ (xto0, у -> - оо) ^ (- ф (х) =) lim_ (токоррекция-оо) е ^ и = 0 #

а также #lim_ (xto0) (- е ^ (- Р (х)) + 1) = lim_ (xto0) се ^ х # #<=>#

# C = 1 #

Следовательно, # 1 + е ^ (- F (X)) = е ^ х # #<=>#

#e ^ (- F (X)) = е ^ х-1 # #<=>#

# F (х) = п (е ^ х-1) # #<=>#

#f (х) = - п (е ^ х-1) # #color (белый) (аа) #, #x> 0 #

#b) #

# Int_ln2 ^ 1 (е ^ е (х) (х + 1)) ах <##ln (е-1) #

#f (х) = - п (е ^ х-1) #,#x> 0 #

#f '(х) = - е ^ х / (е ^ х-1) #

# -F '(х) = е ^ х / (е ^ х-1)> = (х + 1) / (е ^ х-1) # без ''#=#''

• # Int_ln2 ^ 1f '(х) ах> int_ln2 ^ 1 (х + 1) / (е ^ х-1) ах # #<=>#

# Int_ln2 ^ 1 (х + 1) / (е ^ х-1) ах <## - Р (х) _ ln2 ^ 1 = f (1) + F (0) = п (е-1) #

Однако у нас есть

# Е ^ Р (х) (х + 1) = е ^ (- п (е ^ х-1)) (х + 1) = (х + 1) / (е ^ х-1) #

так что, # Int_ln2 ^ 1 (х + 1) е ^ Р (х) ах <##ln (е-1) #