Пусть P (x_1, y_1) - точка, а l - линия с уравнением ax + by + c = 0.Показать расстояние d от P-> l определяется как: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Найти расстояние d точки P (6,7) от линии l с уравнением 3x + 4y = 11?

Ответ:

#d = 7 #

Позволять # l-> a x + b y + c = 0 # а также # p_1 = (x_1, y_1) # точка не на # Л #.

Если предположить, что #b ne 0 # и звонит # Д ^ 2 = (х-x_1) ^ 2 + (у-y_1) ^ 2 # после замены #y = - (a x + c) / b # в # Д ^ 2 # у нас есть

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #, Следующий шаг - найти # Д ^ 2 # минимум относительно #Икс# так что мы найдем #Икс# такой, что

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #, Это происходит для

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Теперь, подставив это значение в # Д ^ 2 # мы получаем

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # так

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Сейчас дано

# L-> 3x + 4y-11 = 0 # а также # P_1 = (6,7) # затем

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #