Какова вероятность выигрыша в следующей бесконечно повторяемой игре?

Ответ:

# "Ответ D)" #

Объяснение:

# «Это единственный логичный ответ, остальные невозможны». #

# "Это проблема разорения игрока". #

# "Игрок начинает с k доллара." #

# "Он играет, пока не достигнет G доллара или не отступит до 0." #

#p = "шанс, что он выиграет 1 доллар в одной игре." #

#q = 1 - p = "вероятность того, что он проиграет 1 доллар в одной игре." #

# "Назовите" r_k "вероятность (шанс), что он будет разрушен." #

# "Тогда мы имеем" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "с" 1 <= k <= G-1 #

# "Мы можем переписать это уравнение из-за p + q = 1 следующим образом:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# «Теперь у нас есть случай» p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Для" r_k "у нас есть" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Итак, игрок А начинает здесь с k = доллар и играет до" #

# "он разорен или имеет + б доллар." #

# => k = a, "и" G = a + b #

# "Таким образом, вероятность того, что он будет разрушен," #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Вероятность того, что он выиграет" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => «Ответ D)» #