Как вы дифференцируете f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx), используя правило произведения?

Ответ:

Сначала вы используете производственное правило, чтобы получить

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Затем используйте линейность производной и определения производной функции, чтобы получить

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Объяснение:

Правило продукта включает в себя получение производной функции, кратной двум (или более) функциям, в виде #f (х) = г (х) * (х) #, Правило продукта

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Применяя это к нашей функции,

#f (х) = (х-е ^ х) (cosx + 2sinx) #

У нас есть

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Кроме того, нам нужно использовать линейность вывода, что

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Применяя это, мы имеем

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (SiNx)) #.

Нам нужно сделать отдельные производные этих функций, мы используем

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # д / дх е ^ х = е ^ х #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Теперь у нас есть

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

На данный момент мы просто немного опрятны

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #