Какова площадь поверхности твердого тела, созданного вращением f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x в [1,3] вокруг оси x?

Ответ:

Определите знак, затем интегрируйте по частям. Площадь это:

# А = 39,6345 #

Объяснение:

Вы должны знать, #f (х) # отрицательный или положительный в #1,3#, Следовательно:

# Х ^ -х-х ^ х #

#x (е ^ -x-е ^ х) #

Чтобы определить знак, второй фактор будет положительным, когда:

# Е ^ -x-е ^ х> 0 #

# 1 / е ^ х-е ^ х> 0 #

# Е ^ х * 1 / е ^ х-е ^ х * е ^ х> е ^ х * 0 #

поскольку # Е ^ х> 0 # для любого #x in (-oo, + oo) # неравенство не меняется:

# 1-е ^ (х + х)> 0 #

# 1-е ^ (2x)> 0 #

# Е ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Таким образом, функция является положительной только тогда, когда x отрицательна, и наоборот. Так как есть также #Икс# фактор в #f (х) #

#f (х) = х (е ^ -x-е ^ х) #

Когда один фактор положителен, другой отрицателен, поэтому f (x) всегда отрицательный, Поэтому Район:

# А = -int_1 ^ 3f (х) ах #

# А = -int_1 ^ 3 (х ^ -x-х ^ х) ах #

# A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + int_1 ^ 3XE ^ XDX #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (е ^ х) ') дх + int_1 ^ 3x (е ^ х)' дх #

# A = int_1 ^ 3x * (е ^ х) 'дх + int_1 ^ 3x (е ^ х)' дх #

# А = х ^ -x -1 ^ 3-int_1 ^ 3 (х) 'е ^ -xdx + х (е ^ х) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (х)' е ^ XDX #

# А = х ^ -x -1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + х (е ^ х) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ XDX #

# А = х ^ -x -1 ^ 3 - - е ^ -x -1 ^ 3 + х (е ^ х) _ 1 ^ 3- е ^ х -1 ^ 3 #

# А = (3e ^ -3-1 * е ^ -1) + (е ^ -3-е ^ -1) + (3e ^ 3-1 * е ^ 1) - (е ^ 3e ^ 1) #

# А = 3 / е ^ 3-1 / е + 1 / е ^ 3-1 / е + 3e ^ 3e-е ^ 3 + е #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Используя калькулятор:

# А = 39,6345 #

Ответ:

Площадь = 11,336,8 квадратных единиц

Объяснение:

данное #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

для простоты пусть #f (х) = у #

а также # y = xe ^ -x -xe ^ x #

первая производная # У '# необходим при расчете площади поверхности.

Площадь # = 2pi int_1 ^ 3 года # # DS #

где # DS ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Ах #

Площадь # = 2pi int_1 ^ 3 года # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Ах #

Определить первую производную # У '#:

дифференцировать # y = x (e ^ -x - e ^ x) # используя производную формулы продукта

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# у '= е ^ -х - е ^ х -х * е ^ -х -х * е ^ х #

после упрощения и факторинга результат

первая производная # У '= е ^ -x * (1-х) -е ^ х * (1 + х) #

Вычислите сейчас площадь:

Площадь = # 2 pi int_1 ^ 3 года # # DS #

Площадь # = 2pi int_1 ^ 3 года # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Ах #

Площадь

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Ах #

Для таких сложных интегралов мы можем использовать правило Симпсона:

чтобы

Площадь

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Ах #

Площадь = -11,336.804

это включает направление вращения, так что может быть отрицательная площадь поверхности или положительная площадь поверхности. Давайте просто рассмотрим положительное значение Площадь = 11336.804 квадратных единиц