Показать, что 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), для n> 1?

Ответ:

Ниже

Объяснение:

Чтобы показать, что неравенство верно, вы используете математическую индукцию

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # за #n> 1 #

Шаг 1: Докажи, что верно для # П = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

поскольку # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, затем #LHS> RHS #, Поэтому это верно для # П = 2 #

Шаг 2: Предположим, правда для # П = к # где k является целым числом и #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Шаг 3: Когда # П = к + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

т.е. # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / SQRT (к + 1)) #

#> = Sqrt2- (sqrt2 (к-1) + 1 / SQRT (к + 1)) # из (1) по предположению

=# Sqrt2-sqrt2 (к) + sqrt2-1 / SQRT (к + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (к) -1 / SQRT (к + 1) #

поскольку Йк> 1 #, затем # -1 / SQRT (к + 1) <0 # и с тех пор # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, затем # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # так # 2sqrt2-sqrt2 (к) -1 / SQRT (к + 1) = <0 #

= LHS

Шаг 4: Доказательство математической индукции, это неравенство верно для всех целых # П # лучше чем #1#

Неравенство, как указано, является ложным.

Например, для #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (около 2.3) отменить (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (около 2.8) #

Противоречие.