R _ ("th") член геометрического ряда равен (2r + 1) cdot 2 ^ r. Сумма первого n слагаемого ряда это что?

Ответ:

# (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

Объяснение:

#S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r #

# S = sum_ {r = 1} ^ n r * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) #

# S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1-2) + … + a_ {0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1-2) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4#

#+ 1 * 2^3 + 1 * 2^4#

#+ 1 * 2^4#

#S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

Давайте проверим

#S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots #

#S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots #

#S (0) = 1 = -2 + 3 #

#S (1) = 7 = 2 * 2 + 3 #

#S (2) = 27 = 6 * 2 ^ 2 + 3 #

А также #S (3) = 83 = 10 * 2 ^ 3 + 3 #

Ответ:

# (4n-2) 2 ^ n + 2 или (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 #

Объяснение:

Позволять # S_n # обозначить сумма первого # П # условия последовательность

# (2r + 1) 2 ^ r #.

Затем, # S_n = sum_ (г = 1) ^ (г = п) (2г + 1) 2 ^ г #,

#:. S_n = 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + … + (2n-1) * 2 ^ (п-1) + (2n + 1) * 2 ^ п #.

Умножив от #2#, мы получаем, # 2S_n = 3 * 2 ^ 2 + 5 * 2 ^ 3 + … + (2n-1) * 2 ^ п + (2n + 1) * 2 ^ (п + 1) #.

#:. 2S_n-S_n = (3-5) 2 ^ 2 + (5-7) 2 ^ 3 + … + {(2n-1) - (2n + 1)} 2 ^ п + (2n + 1) 2 ^ (п + 1) цвет (красный) (- 3 * 2 ^ 1) #.

#:. S_n = цвет (красный) (- 2 * 2 ^ 1) -2 * 2 ^ 2-2 * 2 ^ 3-2 * 2 ^ п + (2n + 1), 2 ^ (п + 1) цвет (красный) (- 1 * 2 ^ 1), #

# = - 2 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + … + 2 ^ п + (2n + 1), цвет (синий) (2 ^ (п + 1)) - 2 #,

# = - 2 {2 (2 ^ п-1)} / (2-1) + (2n + 1), цвет (синий) (2 ^ п * 2) -2 #, # = - 4 * 2 ^ п + 4 + (4n + 2) 2 ^ п-2 #.

# = 2 ^ п {-4+ (4n + 2)} + 4-2 #.

# rArr S_n = (4n-2) 2 ^ n + 2 или S_n = (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 #